Прикладная физика, 2003, №3, с. 5-9
|
| Прикладная физика, 2003, № 3, с. 5-9 УДК 530.145 Гидродинамическая формулировка уравнения Паули М. А. Микаэлян Институт общей физики РАН, Москва, Россия В рамках известной гидродинамической формулировки квантовой механики выведены уравнения эволюции плотности вероятности для частицы со спином 1/2. С помощью этих уравнений рассмотрен ряд методических вопросов. О гидродинамической формулировке квантовой механики Гидродинамическая формулировка квантовой механики была предложена Маделунгом [1] и с формальной точки зрения сводится к написанию системы уравнений, описывающей эволюцию плотности вероятности y*y как течение сплошной среды. Указанные уравнения выводятся из уравнения для y-функции и по форме оказываются схожими с гидродинамическими. Первоначально гидродинамическая формулировка рассматривалась как интерпретация квантовой механики (наряду с электродинамической интерпретацией Шредингера и вероятностной – Борна), и в настоящее время к ней все еще возвращаются в дискуссиях об основах квантовой механики [2]. Если же отвлечься от общефизического аспекта, то использование гидродинамических уравнений (которые сами по себе представляют лишь методический интерес) в ряде случаев облегчает рассмотрение и оказывается весьма эффективным [3—5]. В данной статье вначале приведены результаты, касающиеся частицы без спина [1], а далее выведены гидродинамические уравнения для частицы со спином 1/2[1]. ^ Уравнение Шредингера для бесспиновой частицы в электромагнитном поле имеет вид  , (1)где  — оператор обобщенного импульса. Выражения для плотности вероятности и плотности потока вероятности выглядят соответственно:r = y*y;  (2)Рассматривая эволюцию r как течение сплошной среды, удобно ввести "скорость течения" v º J/r. (3) Подставив (2) в (3) и представив волновую функцию в виде  (4)будем иметь  (5)Подставив (4) в (1) и отделив действительную и мнимую части, получим два уравнения, одно из которых есть уравнение непрерывности где: v дается в (5). Второе уравнение определяет производную по времени фазы F; взяв градиент от его обеих частей и воспользовавшись (5), после тождественных преобразований будем иметь  (7)где "тензор напряжений" Tik равен  (8) (9)Случаю собственно гидродинамики отвечало бы Tik = –pdik (p — давление), и (7) имело бы вид уравнения Эйлера. Таким образом, гидродинамическую формулировку уравнения Шредингера составляет система уравнений (6) и (7), в которых v удовлетворяет условию rot v = –(e/mc)H (получаемому взятием ротора от обеих частей (5) с учетом (9)); в тензорных обозначениях оно имеет вид  (10)где eijk — абсолютно антисимметричный тензор. В рамках гидродинамического подхода вместо эволюции y-функции рассматривается совместная эволюция r(x) и v(x).  Знание этих величин позволяет, в частности, находить квантовомеханические средние (11)Второе из написанных равенств получается дифференцированием по времени первого (  – по определению [7]) с использованием уравнения непрерывности (6) и последующим интегрированием по частям.^ Прежде чем переходить к рассмотрению частицы со спином, отметим, что при гидродинамическом рассмотрении удобно для каждой физической величины (которой в общем случае отвечает некоторый линейный эрмитов опера- тор  ) формально определить ее гидродинамическое значение L(x). Сделаем это так, чтобы "скорость течения" v(x) подпадала под такое определение. Для этого заметим, что выражение (11) для v таково, как если бы частица в случае ее обнаружения в окрестности точки х (с вероятностью r(х)dV) имела при этом скорость v(x). Требуя выполнимость этого формального свойства, для произвольной физической величины, имеем . (12)С другой стороны, квантовомеханическое среднее  равно  , или, что то же самое, . (13)Приравнивая подынтегральные выражения в (12) и (13), получаем общее определение гидродинамического значения L(x)  . (14)В частности, для скорости, оператор которой равен  , (14) принимает вид (3),где: J дается в выражении (2). Следует отметить, что гидродинамическое значение L(x) принципиально наблюдаемо, как видно из определения (14), оно инвариантно относительно умножения волновой функции на фазовый множитель. В частном случае, когда y — собственная функция оператора , гидродинамическое значение совпадает с непосредственно наблюдаемым собственным значением.Перейдем к рассмотрению частицы со спином 1/2, волновая функция которой есть спинор y – матрица-столбец с компонентами yn, n = 1, 2; сопряженный спинор y* – матрица-строка с компонентами  .В этом случае кроме динамических переменных r(x) и v(x) появляется еще одна – гидродинамическое значение спина s(x), для определения которого подставим в (14) вместо оператор спина  , где s – вектор, компоненты которого суть матрицы Паули sl (l = x, y, z). Ввиду эрмитовости последних вектор W º y*sy чисто вещественный, и (14) принимает вид s = n/2, (15)где: n º W/r; Wl º y*sly (l = x, y, z). (16) Используя известное тождество  , (17)имеем: W2 =  = r2, откуда вытекает, что n – единичный вектор.Таким образом, гидродинамическое значение спина s (15) есть вектор с фиксированным модулем s(x) º 1/2, направление которого n(x) определяется (16). В частном случае, когда проекция спина на некоторое направление, задаваемое единичным вектором I, имеет определенное значение (т. е. y – собственная функция оператора  ), имеем: n(x) º I и, соответственно, s(x) º I/2.Уравнение Паули имеет вид  , (18)где оператор собственного магнитного момента равен   . Подставив выражение (18) в (14) вместо , для гидродинамического значения m(х) с учетом (15), будем иметь , (19)где: n дается в (16). Как легко проверить, для уравнения Паули плотность потока вероятности J совпадает по форме с (2) (при этом — спинор). Но следует оговориться, что величина J определена неоднозначно: в уравнение непрерывности она входит под знаком дивергенции, и в рассматриваемом случае* к ней может быть добавлено слагаемое rot . Однако для J удобно использовать именно выражение (2) — в этом случае конечный вид искомых уравнений, в которые входит "скорость течения" J/, оказывается наиболее простым. Отметим, что только для указанного J "скорость течения" J/ совпадает с гидродинамической скоростью, определяемой однозначно (и независимо от J) общей формулой (14) с  .Выведем гидродинамические уравнения для свободной частицы, = 0, А = 0. В тензорных обозначениях уравнение (18) и сопряженное с ним выражение (2) выглядят, соответственно:  (20) (21)Дифференцируя Ji (21) по времени с учетом (20), будем иметь  (22)С использованием тождества (17) квадратная скобка легко выражается через , J и (см. (21) и (16)), после чего (22) принимает вид  Подставив сюда J = v и воспользовавшись (6), а затем проведя подстановку = 2s (см. (15), (16)), где: s(x) 1/2, получим (ср. (7), (8)):  (23)где "тензор напряжений"  равен . (24) в (24) отличается от Tik в (8) наличием дополнительного слагаемого.Дифференцируя i (16) по времени с учетом (20), будем иметь  (25)С использованием тождества*  (26)квадратная скобка в (25) легко выражается через в (16) и v = J/, где и J даются в (21), после чего (25) принимает вид  .Подставив сюда = 2s (см. (15), (16)) и воспользовавшись (6), получим:  . (27)Проведя аналогичное рассмотрение в присутствии электромагнитного поля, вместо уравнений (23) и (27) будем иметь*:  (28)  (29)Как и в отсутствие спина, скорость v — величина непроизвольная (ср. (10)):  . (30)Это соотношение легко проверяется посредством подстановок v = J/ и s = /2, где , J и даются в (2) и в (16), а также использования выражения (9) и тождеств (17) и (26). Таким образом, гидродинамическую формулировку уравнения Паули составляет система уравнений (6), (28) и (29), в которых =  s (см. (19)), s(x) 1/2, а v(x) удовлетворяет условию (30).^ Гидродинамические уравнения особенно удобны для проведения перехода к классическому пределу – движению узких волновых пакетов по классическим траекториям. Проинтегрируем по всему пространству уравнения (28) и (29): первые слагаемые в их правых частях (как дивергенции тензоров) вклада в интегралы не дают; при интегрировании же их левых частей воспользуемся общей формулой  получающейся в результате дифференцирования (12) с учетом (6). В итоге получим уравнения, которые после умножения на m и  , соответственно, имеют вид (31) (32)Пусть 0 в области пространства настолько малой, что внутри нее поля E, H и их первые производные по координатам можно считать постоянными (это корректно, поскольку в нерелятивистской квантовой механике электромагнитное поле рассматривается лишь как внешнее [7]); тогда указанные величины могут быть вынесены из-под знака интеграла в уравнениях (31) и (32), которые после этого с учетом (12) принимают вид уравнений классической механики* (см. ту же сноску):  , .В рамках гидродинамического подхода легко получить известное выражение для плотности электрического тока [7]  (33)посредством приведения правой части (31) к виду "интеграл от объемной плотности силы Лоренца":  (34)Это достигается с помощью тождественного преобразования (в котором используются (19), (16) и уравнение div H = 0)  с учетом которого (31) принимает вид (34), где  Последнее, с учетом (2) и (16), совпадает с (33). Заключение Вывод гидродинамических уравнений можно рассматривать как "замену переменных" – переход от языка y-функции к языку наблюдаемых функций, (определяемых формулой (14). Заметим, однако, что факт локальности получаемых при этом уравнений заранее не очевиден: несмотря на локальность "исходного" волнового уравнения, сама y-функция выражается через наблюдаемые нелокальным образом; так, для бесспиновой частицы в отсутствие поля на основании (4) и (5) имеем =  .Литература 1. Madelung E. Z. Physic, 1926. V. 40. P. 322. 2. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. — М.: Наука, 1985. 3. Bialynicki-Birula I., Bialynicka-Birula Z.//Phys. Rev. D., 1971. V. 3. P. 2410. 4. Киржниц Д. А.//ЖЭТФ, 1990. Т. 98. С. 769. 5. Кузелев М. В., Рухадзе А. А.//УФН, 1999. Т. 169. № 6. С. 687. 6. Takabayasi T.//Progr. Theor. Phys., 1955. V. 14. P. 283. 7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1974. __________________________ Автор благодарит А. А. Рухадзе и участников руководимого им семинара за полезные обсуждения. Автор признателен Е. Л. Фейнбергу за проявленное внимание к работе и выражает благодарность С. М. Апенко, которым была найдена оригинальная статья Такабаяси [6], где впервые были выведены гидродинамические уравнения для частицы со спином. ^ M. A. Mikaelyan Institute of General Physics, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia In the framework of well-known hydrodynamical formulation of quantum mechanics the evolution equations of probability density for the spinning particle are derived. With the help of these equations some methodological issues are considered. © Микаэлян М. А., 2003  [1] Когда статья была подготовлена к печати, автору стало известно, что такие уравнения уже выводились Такабаяси [6], однако существенно более сложным способом. Поэтому данную статью следует рассматривать как методическую. * Любопытно отметить, что чисто формально — посредством добавления в (2) слагаемого Js = ( /4m) rot мы можем связать спиновый момент с пространственным движением, понимая под этим (по аналогии с орбитальным моментом) выполнимость соотношения  последнее проверяется взятием интеграла по частям.* Для доказательства тождества (26) подставим в его левую часть  (коммутационные соотношения для -матриц); далее учтем, что  –  , а затем воспользуемся (17).* Присутствующая в (28) наряду с силой Лоренца комбинация ()H + [ rot H] — есть общее выражение для силы, действующей на точечный магнитный момент во внешнем поле H. В частном случае, когда внешние токи j постоянны (при этом rot H = 4j/c) и, кроме того, магнитный момент расположен вне области локализации токов (т. е. где j = 0), второе слагаемое обращается в нуль, и выражение для силы принимает "привычный" вид. |
Обсудить данную работу
