|
Прикладная физика, 2003, № 3, с. 5-9 УДК 530.145 Гидродинамическая формулировка уравнения Паули М. А. Микаэлян Институт общей физики РАН, Москва, Россия В рамках известной гидродинамической формулировки квантовой механики выведены уравнения эволюции плотности вероятности для частицы со спином 1/2. С помощью этих уравнений рассмотрен ряд методических вопросов. О гидродинамической формулировке квантовой механики Гидродинамическая формулировка квантовой механики была предложена Маделунгом [1] и с формальной точки зрения сводится к написанию системы уравнений, описывающей эволюцию плотности вероятности y*y как течение сплошной среды. Указанные уравнения выводятся из уравнения для y-функции и по форме оказываются схожими с гидродинамическими. Первоначально гидродинамическая формулировка рассматривалась как интерпретация квантовой механики (наряду с электродинамической интерпретацией Шредингера и вероятностной – Борна), и в настоящее время к ней все еще возвращаются в дискуссиях об основах квантовой механики [2]. Если же отвлечься от общефизического аспекта, то использование гидродинамических уравнений (которые сами по себе представляют лишь методический интерес) в ряде случаев облегчает рассмотрение и оказывается весьма эффективным [3—5]. В данной статье вначале приведены результаты, касающиеся частицы без спина [1], а далее выведены гидродинамические уравнения для частицы со спином 1/2[1]. ^ Уравнение Шредингера для бесспиновой частицы в электромагнитном поле имеет вид ![]() где ![]() r = y*y; ![]() Рассматривая эволюцию r как течение сплошной среды, удобно ввести "скорость течения" v º J/r. (3) Подставив (2) в (3) и представив волновую функцию в виде ![]() будем иметь ![]() Подставив (4) в (1) и отделив действительную и мнимую части, получим два уравнения, одно из которых есть уравнение непрерывности где: v дается в (5). Второе уравнение определяет производную по времени фазы F; взяв градиент от его обеих частей и воспользовавшись (5), после тождественных преобразований будем иметь ![]() где "тензор напряжений" Tik равен ![]() ![]() Случаю собственно гидродинамики отвечало бы Tik = –pdik (p — давление), и (7) имело бы вид уравнения Эйлера. Таким образом, гидродинамическую формулировку уравнения Шредингера составляет система уравнений (6) и (7), в которых v удовлетворяет условию rot v = –(e/mc)H (получаемому взятием ротора от обеих частей (5) с учетом (9)); в тензорных обозначениях оно имеет вид ![]() где eijk — абсолютно антисимметричный тензор. В рамках гидродинамического подхода вместо эволюции y-функции рассматривается совместная эволюция r(x) и v(x). ![]() ![]() Второе из написанных равенств получается дифференцированием по времени первого ( ![]() ^ Прежде чем переходить к рассмотрению частицы со спином, отметим, что при гидродинамическом рассмотрении удобно для каждой физической величины (которой в общем случае отвечает некоторый линейный эрмитов опера- тор ![]() ![]() С другой стороны, квантовомеханическое среднее ![]() ![]() ![]() Приравнивая подынтегральные выражения в (12) и (13), получаем общее определение гидродинамического значения L(x) ![]() В частности, для скорости, оператор которой равен ![]() где: J дается в выражении (2). Следует отметить, что гидродинамическое значение L(x) принципиально наблюдаемо, как видно из определения (14), оно инвариантно относительно умножения волновой функции на фазовый множитель. В частном случае, когда y — собственная функция оператора ![]() Перейдем к рассмотрению частицы со спином 1/2, волновая функция которой есть спинор y – матрица-столбец с компонентами yn, n = 1, 2; сопряженный спинор y* – матрица-строка с компонентами ![]() В этом случае кроме динамических переменных r(x) и v(x) появляется еще одна – гидродинамическое значение спина s(x), для определения которого подставим в (14) вместо ![]() ![]() где: n º W/r; Wl º y*sly (l = x, y, z). (16) Используя известное тождество ![]() имеем: W2 = ![]() Таким образом, гидродинамическое значение спина s (15) есть вектор с фиксированным модулем s(x) º 1/2, направление которого n(x) определяется (16). В частном случае, когда проекция спина на некоторое направление, задаваемое единичным вектором I, имеет определенное значение (т. е. y – собственная функция оператора ![]() Уравнение Паули имеет вид ![]() где оператор собственного магнитного момента равен ![]() ![]() ![]() ![]() где: n дается в (16). Как легко проверить, для уравнения Паули плотность потока вероятности J совпадает по форме с (2) (при этом — спинор). Но следует оговориться, что величина J определена неоднозначно: в уравнение непрерывности она входит под знаком дивергенции, и в рассматриваемом случае* к ней может быть добавлено слагаемое rot . Однако для J удобно использовать именно выражение (2) — в этом случае конечный вид искомых уравнений, в которые входит "скорость течения" J/, оказывается наиболее простым. Отметим, что только для указанного J "скорость течения" J/ совпадает с гидродинамической скоростью, определяемой однозначно (и независимо от J) общей формулой (14) с ![]() Выведем гидродинамические уравнения для свободной частицы, = 0, А = 0. В тензорных обозначениях уравнение (18) и сопряженное с ним выражение (2) выглядят, соответственно: ![]() ![]() Дифференцируя Ji (21) по времени с учетом (20), будем иметь ![]() С использованием тождества (17) квадратная скобка легко выражается через , J и (см. (21) и (16)), после чего (22) принимает вид ![]() Подставив сюда J = v и воспользовавшись (6), а затем проведя подстановку = 2s (см. (15), (16)), где: s(x) 1/2, получим (ср. (7), (8)): ![]() где "тензор напряжений" ![]() ![]() ![]() Дифференцируя i (16) по времени с учетом (20), будем иметь ![]() С использованием тождества* ![]() квадратная скобка в (25) легко выражается через в (16) и v = J/, где и J даются в (21), после чего (25) принимает вид ![]() Подставив сюда = 2s (см. (15), (16)) и воспользовавшись (6), получим: ![]() Проведя аналогичное рассмотрение в присутствии электромагнитного поля, вместо уравнений (23) и (27) будем иметь*: ![]() ![]() Как и в отсутствие спина, скорость v — величина непроизвольная (ср. (10)): ![]() Это соотношение легко проверяется посредством подстановок v = J/ и s = /2, где , J и даются в (2) и в (16), а также использования выражения (9) и тождеств (17) и (26). Таким образом, гидродинамическую формулировку уравнения Паули составляет система уравнений (6), (28) и (29), в которых = ![]() ^ Гидродинамические уравнения особенно удобны для проведения перехода к классическому пределу – движению узких волновых пакетов по классическим траекториям. Проинтегрируем по всему пространству уравнения (28) и (29): первые слагаемые в их правых частях (как дивергенции тензоров) вклада в интегралы не дают; при интегрировании же их левых частей воспользуемся общей формулой ![]() получающейся в результате дифференцирования (12) с учетом (6). В итоге получим уравнения, которые после умножения на m и ![]() ![]() ![]() Пусть 0 в области пространства настолько малой, что внутри нее поля E, H и их первые производные по координатам можно считать постоянными (это корректно, поскольку в нерелятивистской квантовой механике электромагнитное поле рассматривается лишь как внешнее [7]); тогда указанные величины могут быть вынесены из-под знака интеграла в уравнениях (31) и (32), которые после этого с учетом (12) принимают вид уравнений классической механики* (см. ту же сноску): ![]() ![]() В рамках гидродинамического подхода легко получить известное выражение для плотности электрического тока [7] ![]() посредством приведения правой части (31) к виду "интеграл от объемной плотности силы Лоренца": ![]() Это достигается с помощью тождественного преобразования (в котором используются (19), (16) и уравнение div H = 0) ![]() с учетом которого (31) принимает вид (34), где ![]() Последнее, с учетом (2) и (16), совпадает с (33). Заключение Вывод гидродинамических уравнений можно рассматривать как "замену переменных" – переход от языка y-функции к языку наблюдаемых функций, (определяемых формулой (14). Заметим, однако, что факт локальности получаемых при этом уравнений заранее не очевиден: несмотря на локальность "исходного" волнового уравнения, сама y-функция выражается через наблюдаемые нелокальным образом; так, для бесспиновой частицы в отсутствие поля на основании (4) и (5) имеем = ![]() Литература 1. Madelung E. Z. Physic, 1926. V. 40. P. 322. 2. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. — М.: Наука, 1985. 3. Bialynicki-Birula I., Bialynicka-Birula Z.//Phys. Rev. D., 1971. V. 3. P. 2410. 4. Киржниц Д. А.//ЖЭТФ, 1990. Т. 98. С. 769. 5. Кузелев М. В., Рухадзе А. А.//УФН, 1999. Т. 169. № 6. С. 687. 6. Takabayasi T.//Progr. Theor. Phys., 1955. V. 14. P. 283. 7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. — М.: Наука, 1974. __________________________ Автор благодарит А. А. Рухадзе и участников руководимого им семинара за полезные обсуждения. Автор признателен Е. Л. Фейнбергу за проявленное внимание к работе и выражает благодарность С. М. Апенко, которым была найдена оригинальная статья Такабаяси [6], где впервые были выведены гидродинамические уравнения для частицы со спином. ^ M. A. Mikaelyan Institute of General Physics, Russian Academy of Sciences, Moscow, Russia In the framework of well-known hydrodynamical formulation of quantum mechanics the evolution equations of probability density for the spinning particle are derived. With the help of these equations some methodological issues are considered. © Микаэлян М. А., 2003 ![]() [1] Когда статья была подготовлена к печати, автору стало известно, что такие уравнения уже выводились Такабаяси [6], однако существенно более сложным способом. Поэтому данную статью следует рассматривать как методическую. * Любопытно отметить, что чисто формально — посредством добавления в (2) слагаемого Js = ( ![]() ![]() * Для доказательства тождества (26) подставим в его левую часть ![]() ![]() ![]() * Присутствующая в (28) наряду с силой Лоренца комбинация ()H + [ rot H] — есть общее выражение для силы, действующей на точечный магнитный момент во внешнем поле H. В частном случае, когда внешние токи j постоянны (при этом rot H = 4j/c) и, кроме того, магнитный момент расположен вне области локализации токов (т. е. где j = 0), второе слагаемое обращается в нуль, и выражение для силы принимает "привычный" вид. |